要介護1認定　ケアマネが不足で進めない

地域包括支援センターに聞いてもダメでしたか？
ケアマネがいなくても、安否確認などであれば介護保険外サービスも紹介してくれるはずですよ。

市内でケアマネの空きがないというのは深刻ですね…

骨折を何度もされているようなので、何らかの支援を急ぎたいですよね。

例えば、介護保険と別に高齢者向け配食サービスを行なっているところでは、基本的にお弁当は手渡しなので安否確認ができます。
手渡しできない場合や転倒・不調などあればご家族に一報いただけると思うので、カメラがうまくいかない状況では安心材料のひとつになるかと。
（安否確認を頼めるかは確認が必要です）

あるいは、非常に手間のかかる手段なのでオススメしにくいのですが、「自己作成ケアプラン （セルフケアプラン ）」という方法もあります。
ケアマネが行なっている業務
・必要書類の作成、提出
・介護サービス事業所との連絡調整
を、ケアマネではなくご本人、ご家族で行うやり方です。
どこかのケアマネが空き次第、業務を引き継いでもらえます。

慣れない業務に苦労される可能性が高いので難しいかと思いますが、緊急下においては、選択肢としてあっていいかもしれません。
市や包括に問い合わせれば教えてもらえると思います。